Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（1）求f（m-1）+1的值；
（2）若x∈[-2，a]，求f（x）的值域；
（3）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x=m-1，代入可得f（m-1）+1的值；
（2）由f（x）的圖象與性質(zhì)，討論a的取值，從而確定f（x）在[-2，a]上的增減性，求出f（x）的值域．
（3）把f（x+t）≤3x轉(zhuǎn)化為（x+t）²+2（x+t）≤3x，即u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查u（x）的圖象與性質(zhì)，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+2x，
∴f（m-1）+1=（m-1）²+2（m-1）+1=m²；
（2）∵f（x）=x²+2x的圖象是拋物線，開口向上，對(duì)稱軸是x=-1，
∴當(dāng)-2＜a≤-1時(shí)，f（x）在[-2，a]上是減函數(shù)，
f（x）_max=f（-2）=0，f（x）_min=f（a）=a²+2a，
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋篬a²+2a，0]；
當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，f（x）在[-2，a]上先減后增，
f（x）_max=f（-2）=0，f（x）_min=f（-1）=-1，
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋篬-1，0]；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[-2，a]上先減后增，
f（x）_max=f（a）=a²+2a，f（x）_min=f（-1）=-1，
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋篬-1，a²+2a]．
（3）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
即（x+t）²+2（x+t）≤3x，
∴x²+（2t-1）x+t²+2t≤0；
設(shè)u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，其中x∈[1，m]
∵u（x）的圖象是拋物線，開口向上，
∴u（x）_max=max{u（1），u（m）}；
由u（x）≤0恒成立知

u(1)≤0 u(m)≤0

；
化簡(jiǎn)得

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

；
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
則原題轉(zhuǎn)化為存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即當(dāng)t∈[-4，0]時(shí)，g（t）_min≤0；
∵m＞1時(shí)，g（t）的對(duì)稱軸是t=-1-m＜-2，
①當(dāng)-1-m＜-4，即m＞3時(shí)，g（t）_min=g（-4），
∴

m＞3 16-8(m+1)+m2-m≤0

，
解得3＜m≤8；
②當(dāng)-4≤-1-m＜-2，即1＜≤3時(shí)，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m，
∴

1＜m≤3 -1-3m≤0

，
解得1＜m≤3；
綜上，m的取值范圍是（1，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)討論對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)？在區(qū)間左側(cè)？區(qū)間右側(cè)？從而確定函數(shù)的最值．