Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+mx-2m-3
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（1，+∞）內(nèi)各有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=2x²+mx-2m-3圖象開口向上，且在區(qū)間（-∞，0）與（1，+∞）內(nèi)各有一零點，故

f(0)＜0 f(1)＜0

，解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）解法一：若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，則2x²-（2m+1）x+m+8≥0在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x2-(2m+1)x+m+8，(x＞

1

2

)利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案；
解法二：若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，則m≤

2x2-x+8

2x-1

=x+

8

2x-1

，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+

8

2x-1

，(x＞

1

2

)，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值，可得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=2x²+mx-2m-3圖象開口向上，且在區(qū)間（-∞，0）與（1，+∞）內(nèi)各有一零點，
故

f(0)＜0 f(1)＜0

，----------------（3分）
即

-2m-3＜0 -m-1＜0

，----------------（4分）
解得m＞-1，即實數(shù)的取值范圍為（-1，+∞）；----------------（6分）
（2）方法一：不等式f（x）≥（3m-1）x-3m-11在x∈(

1

2

，+∞)上恒成立?2x²+mx-2m-3≥（3m-1）x-3m-11?2x²-（2m+1）x+m+8≥0----------------（7分）
取g(x)=2x2-(2m+1)x+m+8，(x＞

1

2

)
對稱軸x=

2m+1

2

=m+

1

2

當m≤0時，對稱軸x=m+

1

2

≤

1

2

∴g（x）在(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，g（x）＞g（2）=8＞0，
故m≤0滿足題意----------------（9分）
當m＞0時，對稱軸x=m+

1

2

＞

1

2

又g（x）≥0在(

1

2

，+∞)上恒成立，
故△=（2m+1）²-8（m+8）=4m²-4m-63=（2m+7）（2m-9）≤0
解得：-

7

2

≤m≤

9

2

，----------------（12分）
故0＜m≤

9

2

----------------（13分）
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為(-∞，

9

2

]．----------------（14分）
方法二：不等式f（x）≥（3m-1）x-3m-11在x∈(

1

2

，+∞)上恒成立?2x²+mx-2m-3≥（3m-1）x-3m-11?m≤

2x2-x+8

2x-1

=x+

8

2x-1

----------------（9分）
取g(x)=x+

8

2x-1

，(x＞

1

2

)
由結(jié)論：定義在（0，+∞）上的函數(shù)h(x)=x+

a

x

，(a＞0)，當且僅當x=

a

時h（x）取得最小值2

a

．
故g(x)=x-

1

2

+

4

x- 1 2

+

1

2

≥2

4

+

1

2

=

9

2

----------------（12分）
當且僅當x-

1

2

=2，即x=

5

2

時函數(shù)g（x）取得最小值

9

2

．----------------（13分）
故m≤

9

2

，即實數(shù)的取值范圍為(-∞，

9

2

]．----------------（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的零點，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．