Question

13．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC₁=2，M是AB的中點．
（1）求證：平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁；
（2）求點M到平面A₁CB₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出A₁A⊥CM，AB⊥CM．由此能證明平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）設(shè)點M到平面A₁CB₁的距離為h，由${V_{C-{A_1}M{B_1}}}=\frac{1}{3}MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}={V_{M-{A_1}C{B_1}}}=\frac{1}{3}h•{S_{△{A_1}C{B_1}}}$，能求出點M到平面A₁CB₁的距離．

解答 證明：（Ⅰ）由A₁A⊥平面ABC，CM?平面ABC，則A₁A⊥CM．
由AC=CB，M是AB的中點，則AB⊥CM．
又A₁A∩AB=A，則CM⊥平面ABB₁A₁，
又CM?平面A₁CM，
所以平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）設(shè)點M到平面A₁CB₁的距離為h，
由題意可知${A_1}C=C{B_1}={A_1}{B_1}=2MC=2\sqrt{2}$，${S_{△{A_1}C{B_1}}}=2\sqrt{3}$，${S_{△{A_1}M{B_1}}}=2\sqrt{2}$．
由（Ⅰ）可知CM⊥平面ABB₁A₁，得：
${V_{C-{A_1}M{B_1}}}=\frac{1}{3}MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}={V_{M-{A_1}C{B_1}}}=\frac{1}{3}h•{S_{△{A_1}C{B_1}}}$，
所以，點M到平面A₁CB₁的距離$h=\frac{{MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}}}{{{S_{△{A_1}C{B_1}}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．