Question

20．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A₁DE，若M為線段A₁C的中點，則在△ADE翻轉過程中，對于下列說法：
①|CA|≥|CA₁|
②經過點A、E、A₁、D的球的體積為2π
③一定存在某個位置，使DE⊥A₁C
④|BM|是定值
其中正確的說法是①④．

Answer 1

分析 在①中，在△ADE翻轉過程中，始終有|CA|≥|CA₁|；在②中，A，D，E是定點，A₁是動點，經過點A、E、A₁、D的球的體積不是定值；在③中，AC與DE不垂直，從而DE與A₁C不垂直；在④中，取DC中點N，連MN，NB，根據(jù)余弦定理得到|BM|是定值．

解答 解：在①中，在△ADE翻轉過程中，始終有|CA|≥|CA₁|，故①正確．
在②中，∵AD=AE=A₁D=A₁E=1，A，D，E是定點，A₁是動點，
∴經過點A、E、A₁、D的球的體積不是定值，故②錯誤；
在③中，∵A₁C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，
∴存在某個位置，使DE⊥A₁C不正確，故③不正確．
在④中，取DC中點N，連MN，NB，則MN∥A₁D，NB∥DE，
∴面MNB∥面A₁DE，MB?面MNB，∴MB∥面A₁DE，故④正確；
∠A₁DE=∠MNB，MN=$\frac{1}{2}{A}_{1}D$是定值，NB=DE是定值，
根據(jù)余弦定理得到：MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，
∴|BM|是定值，故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．