Question

8．已知球O外接于正四面體ABCD，小球O'與球O內(nèi)切于點(diǎn)D，與平面ABC相切，球O的表面積為9π，則小球O'的體積為（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 6π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)小球O'的半徑為r，球O的半徑為R，正四面體的高為h，推導(dǎo)出$r=\frac{2}{3}R$，由球O的表面積為9π，得$R=\frac{3}{2}$，從而r=1，由此能求出小球O'的體積．

解答 解：設(shè)小球O'的半徑為r，球O的半徑為R，正四面體的高為h，
則由題意，得：$R=\frac{3}{4}h，h=2r$，即$r=\frac{2}{3}R$，
又球O的表面積為9π，即4πR²=9π，則$R=\frac{3}{2}$，
所以r=1，則小球O'的體積$V=\frac{4}{3}π{r^3}=\frac{4π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球、正四面體的性質(zhì)的應(yīng)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．