Question

18．在△ABC中，P₀是AB中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，則有（　�。�

• A． AB=BC
• B． AC=BC
• C． ∠ABC=90°
• D． ∠BAC=90°

Answer 1

分析 由題意 P₀、P、A、B 四點(diǎn)共線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），根據(jù)$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，得4x²-4（a+1）x+2a+1≥0 恒成立，由判別式△≤0，得a=0，即得點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，從而得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，P₀、P、A、B 四點(diǎn)共線，
以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，C（a，b），P（x，0），
則A（-1，0），B（1，0），P₀（$\frac{1}{2}$，0）；
∵$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，
∴（1-x）（a-x）≥$\frac{1}{2}$（a-$\frac{1}{2}$），
即 4x²-4（a+1）x+2a+1≥0 恒成立，
∴判別式△=16（a+1）²-16（2a+1）≤0；
解得a²≤0，
∴a=0，即點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題的能力，屬中檔題．