Question

如圖，點(diǎn)P（0，

A

2

）是函數(shù)y=Asin（

2π

3

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，π]）的圖象與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q、R是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，

A

2

），可求得sinφ=

1

2

，φ∈[0，π），且點(diǎn)P在遞增區(qū)間上可求得φ=

π

6

；
（Ⅱ）由（I）可知y=Asin(

2π

3

x+

π

6

)，令y=0可求得x=-

1

4

或x=

5

4

，從而可得P、Q、R的坐標(biāo)，利用PQ⊥PR，得

PQ

•

PR

=-

5

16

+

1

4

A2=0，從而可求得A．

解答： 解：（I）∵函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，

A

2

），
∴Asinφ=

A

2

，
∴sinφ=

1

2

，…（3分）
又∵φ∈[0，π），且點(diǎn)P在遞增區(qū)間上，
∴φ=

π

6

，…（7分）
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

3

x+

π

6

)，
令y=0，得sin(

2π

3

x+

π

6

)=0
∴

2π

3

x+

π

6

=0，∴x=-

1

4

或x=

5

4

，∴Q(-

1

4

，0)，R(

5

4

，0)…（11分）
又∵P(0，

A

2

)，∴

PQ

=(-

1

4

，-

A

2

)，

PR

=(

5

4

，-

A

2

)，
∵PQ⊥PR，∴

PQ

•

PR

=-

5

16

+

1

4

A2=0，
解得：A=

5

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得P、Q、R的坐標(biāo)是關(guān)鍵，著重考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題．