Question

三角形ABC中三邊長(zhǎng)為a，b，c，D是BC邊上一點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，且AD=BC，則

b

c

+

c

b

的最大值為（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：由三角形的面積公式可得

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，即a²=bcsin∠BAC，在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．即可得出

b

c

+

c

b

用∠BAC表示，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵AD⊥BC，AD=BC=a．

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，
∴a²=bcsin∠BAC，
在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．
∴bcsin∠BAC=b²+c²-2bccos∠BAC，
化為

b2+c2

bc

=sin∠BAC+2cos∠BAC，
令∠BAC=θ，θ∈（0，π）．
則

b

c

+

c

b

=sinθ+2cosθ=

5

sin（θ+φ），其中φ=arctan2．
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，

b

c

+

c

b

取得最大值

5

故選項(xiàng)為：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式、余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．