Question

若

AC

=

a

+

b

，

DB

=

a

-

b

．
（1）當(dāng)

a

、

b

滿足什么條件時(shí)，

a

+

b

與

a

-

b

垂直？
（2）當(dāng)

a

、

b

滿足什么條件時(shí)，|

a

+

b

|=|

a

-

b

|？
（3）當(dāng)

a

、

b

滿足什么條件時(shí)，

a

+

b

平分

a

與

b

所夾的角？
（4）

a

+

b

與

a

-

b

可能是相等向量嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量垂直的條件，化簡(jiǎn)即可得到；（2）對(duì)等式兩邊平方，化簡(jiǎn)即可得到；
（3）運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合條件，即可得到；
（4）若

a

+

b

與

a

-

b

是相等向量，則

a

+

b

=

a

-

b

，即

b

=

0

，檢驗(yàn)即可判斷．

解答： 解：（1）由

a

+

b

與

a

-

b

垂直，可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，
即有

a

2-

b

2=0，即|

a

|=|

b

|，
則當(dāng)

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|時(shí)，

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（2）由|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，兩邊平方可得，

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2-2

a

•

b

，
則

a

•

b

=0，即

a

⊥

b

，
故當(dāng)

a

、

b

滿足

a

⊥

b

時(shí)，|

a

+

b

|=|

a

-

b

|；
（3）由

a

+

b

平分

a

與

b

所夾的角，運(yùn)用平行四邊形法則，
可得，由

a

，

b

為鄰邊作平行四邊形，即為菱形，則有|

a

|=|

b

|，
故當(dāng)

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|時(shí)，

a

+

b

平分

a

與

b

所夾的角；
（4）若

a

+

b

與

a

-

b

是相等向量，則

a

+

b

=

a

-

b

，即

b

=

0

，
這與

AC

=

a

+

b

，

DB

=

a

-

b

，即

AC

=

DB

，可能．
則

a

+

b

與

a

-

b

可能是相等向量．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，以及向量加法的平行四邊形法則，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．