Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$（x＞0）．
（1）試確定f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論；
（2）若0＜x≤1時(shí)，不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得答案；
（2）由（1）可得當(dāng)0＜x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求出f（x）在0＜x≤1時(shí)的最大值，把不等式f（x）≤m（m-2）恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式得答案．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$，得f′（x）=$\frac{9（{x}^{2}+x+1）-9x（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}=\frac{9（1-x）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）；單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由（1）知，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，$f（x）_{max}=f（1）=\frac{9}{3}=3$，
∴要使不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，則m（m-2）≥3，即m²-2m-3≥0，
解得：m≤-1或m≥3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了恒成立問題的解法，是中檔題．