已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna,a>1.
(Ⅰ)求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)若方程|f(x)-t|=1有三個不同的實根,求t的值;
(Ⅲ)對任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)證明a>1時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0.
(Ⅱ)先判斷函數(shù)f(x)的極小值,再由y=|f(x)-t|-1有三個零點,所以方程f(x)=t±1有三個根,根據(jù)t-1應(yīng)是f(x)的極小值,解出t.
(Ⅲ)f(x)的最大值減去f(x)的最小值大于或等于e-1,由單調(diào)性知,f(x)的最大值是f(1)或f(-1),最小值f(0)=1,由f(1)-f(-1)的單調(diào)性,判斷f(1)與f(-1)的大小關(guān)系,再由f(x)的最大值減去最小值f(0)大于或等于e-1求出a的取值范圍.
解答: 解:(I)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,…(2分)
由于a>1,故當(dāng)x∈(0,+∞)時,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; …(4分)
(II)令f′(x)=2x+(ax-1)lna=0,解得x=0,…(5分)
x,f(x),f′(x)的變化情況表如下:
x(-∞,0)0(0,+∞)
f'(x)-0+
f(x)遞減極小值遞增
因為方程|f(x)-t|=1有三個不同的實根,所以f(x)=t±1
故當(dāng)x→∞時,f(x)→+∞,
t-1=f(x)min=f(0)=,所以t=2;…(8分)
(III)由(II)可知f(x)在區(qū)間[-1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增.
所以f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)},f(-1)=
1
a
+1+lna
,f(1)=a+1-lna,
f(1)-f(-1)=a-
1
a
-2lna,
設(shè)函數(shù)g(x)=x-
1
x
-2lnx,g′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=(
1
x
-1)2
,所以g′(x)≥0(當(dāng)x=1時取等號)
所以g(x)=x-
1
x
-2lnx
遞增,g(1)=0,a>1,
所以f(1)-f(-1)=a-
1
a
-2lna>0,
所以f(1)>f(-1)…(11分)
對任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna≤e-1,
所以1<a≤e.
點評:本題考查函數(shù)的零點,用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)點P是不等式
3x-y-3≤0
x-y+1≥0
x≥0,y≥0
表示的平面區(qū)域內(nèi)D內(nèi)的一點,點Q是圓C1:x2+y2-8x+2y+12+m=0上的一點,且平面區(qū)域D在圓C外,若線段PQ長的最大值小于3
5
,最小值大于
10
2
,則實數(shù)m的取值范圍( 。
A、(-1,1)
B、(
5
2
,+∞)
C、(
1
2
,1)
D、(
5
2
,5)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
與向量
b
反向,且|
a
|=r,|
b
|=R,
b
a
,則λ=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P是⊙C:(x-1)2+(y-
3
2=1上的一個動點,A(
3
,1),則
OP
OA
的取值范圍為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l為經(jīng)過橢圓:
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦點F1,F(xiàn)2(c,0)是橢圓的右焦點,若直線AB與橢圓交于A,B兩點,試求△AF2B面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,正方形ABCD的邊長為1,AP⊥平面ABCD,且AP=
2
,則PC與平面PAB所成的角是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩漸近線的交點分別為A、B,相應(yīng)于這條準(zhǔn)線的焦點為F,如果△ABF是等邊三角形,那么雙曲線的離心率為( 。
A、
2
B、2
C、4
D、
2
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
16
+
y2
25
=1的焦點分別是F1、F2,P是橢圓上一點,若連結(jié)F1、F2、P三點恰好能構(gòu)成直角三角形,則點P到y(tǒng)軸的距離是(  )
A、
16
5
B、3
C、
16
3
D、
25
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E是AB上的點,若直線D1E與EC垂直,
(Ⅰ)求線段AE的長;
(Ⅱ)求二面角D1-EC-D的大;
(Ⅲ)求D點到平面CD1E的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案