Question

已知直線l為經(jīng)過(guò)橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂（c，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，若直線AB與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，試求△AF₂B面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

2b2

a2+b2m2

．利用△AF₂B面積S=

1

2

•2c•|y1-y2|與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

my=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，
y₁+y₂=

2b2mc

a2+b2m2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2b2cm a2+b2m2 )2+ 4b4 a2+b2m2

=

2ab2 1+m2

a2+b2m2

．
∴△AF₂B面積S=

1

2

•2c•|y1-y2|=

2ab2c 1+m2

a2+b2m2

，
設(shè)

1+m2

=t≥1，則m²=t²-1．
∴S=

2ab2ct

a2+b2(t2-1)

=

2ab2c

c2 t +b2t

≤

2ab2c

2 c2 t •b2t

=ab，當(dāng)且僅當(dāng)|t|=

c

b

．
當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
∴△AF₂B面積的最大值是ab．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．