Question

13．湖南衛(wèi)視“我是歌手”這個節(jié)目深受廣大觀眾喜愛，節(jié)目每周直播一次，在某周比賽中歌手甲、乙、丙競演完畢，現(xiàn)場的某4位大眾評審對這3位歌手進(jìn)行投票，每位大眾評審只能投一票且把票投給任一歌手是等可能的，求：
（Ⅰ）恰有2人把票投給歌手甲的概率；
（Ⅱ）投票結(jié)束后得票歌手的個數(shù)ζ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型或相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算公式能求“恰有2人把票投給歌手甲”的概率；
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出ζ的可能取值，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）解法一：所有可能的投票方式有3⁴種，恰有2人把票投給歌手甲的方式${C_4}^2•{2^2}$種，從而恰有2人把票投給歌手甲的概率為$\frac{{{C_4}^2•{2^2}}}{3^4}=\frac{8}{27}$…（5分）
解法二：設(shè)對每位投票人的觀察為一次試驗，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗．
記“把票投給歌手甲”為事件ζ，則$P（A）=\frac{1}{3}$，
從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人把票投給歌手甲的概率為：${P_4}（2）={C_4}^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$；
（Ⅱ）ξ的所有可能值為：1，2，3，
則P（ξ=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，P（（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{2}^{4}-2）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{3}^{4}}$=$\frac{4}{9}$，…（11分）
綜上知，ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{4}{9}$

Eξ=1×$\frac{1}{27}$+2×$\frac{14}{27}$+3×$\frac{4}{9}$=$\frac{65}{27}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查求離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識．求出隨機(jī)變量ζ所有可能的取值的概率，是解題的難點(diǎn)．