Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x-1）²+（y-4）²=1，求$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 分x=0與x≠0兩種情況討論，當(dāng)x≠0時(shí)，利用換元法及直線與圓的位置關(guān)系即可．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=0；
當(dāng)x≠0時(shí)，$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\frac{1}{\frac{y-1}{x}+\frac{x}{y-1}}$，
∵動(dòng)點(diǎn)落在（x-1）²+（y-4）²=1上，
∴可令x=1+cosθ，y=4+sinθ，
令$\frac{y-1}{x}$=t，則t=$\frac{4+sinθ-1}{1+cosθ}$=$\frac{sinθ-（-3）}{cosθ-（-1）}$，
即t表示經(jīng)過圓x²+y²=1與定點(diǎn)（-1，-3）的直線l的斜率，
設(shè)直線l的方程為：tx-y+t-3=0，
由1=$\frac{|t-3|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{y-1}{x}$∈[$\frac{4}{3}$，+∞），
∴$\frac{y-1}{x}$+$\frac{x}{y-1}$≥$\frac{25}{12}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=±x-1時(shí)等號(hào)成立，
∴0＜$\frac{1}{\frac{y-1}{x}+\frac{x}{y-1}}$≤$\frac{12}{25}$，
綜上所述，0≤$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$≤$\frac{12}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類討論的思想，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查換元法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．