【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為正方形,,,分別是,的中點(diǎn).
(1)在平面內(nèi)求一點(diǎn),使平面,并證明你的結(jié)論;
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn);證明見解析(2)
【解析】
以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),可求出各點(diǎn)的坐標(biāo)
(1)設(shè),根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可得,進(jìn)而可求出值,得到點(diǎn)的位置;
(2)求出平面的法向量為,及的方向向量的坐標(biāo),代入向量夾角公式,可得與平面所成角的正弦值.
解:以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),設(shè),則,,,,,,,
(1)設(shè),則平面,,
,所以,
,所以,
∴點(diǎn)坐標(biāo)為,即點(diǎn)為的中點(diǎn).
(2)設(shè)平面的法向量為,
由得,,即,
取,則,,得.
,
所以,與平面所成角的正弦值的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,政府對民生也越來越關(guān)注. 市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形土地ABC(如圖所示),其邊長為2百米,為了滿足市民的休閑需求,市政府?dāng)M在三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場,即扇形DBE,DAG和ECF,其中、與分別相切于點(diǎn)D、E,且與無重疊,剩余部分(陰影部分)種植草坪. 設(shè)BD長為x(單位:百米),草坪面積為S(單位:百米2).
(1)試用x分別表示扇形DAG和DBE的面積,并寫出x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),草坪面積最大?并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.經(jīng)過任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.
B.過點(diǎn)有且僅有一條直線與異面直線垂直.
C.一條直線與一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行.
D.面與平面相交,則公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大提出,加快水污染防治,建設(shè)美麗中國.根據(jù)環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量(單位:噸)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到如下頻率分布表:
將污水排放量落入各組的頻率作為概率,并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立.
(1)求在未來3年里,至多1年污水排放量的概率;(2)該河流的污水排放對沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下:當(dāng)時(shí),沒有影響;當(dāng)時(shí),經(jīng)濟(jì)損失為10萬元;當(dāng)時(shí),經(jīng)濟(jì)損失為60萬元.為減少損失,現(xiàn)有三種應(yīng)對方案:
方案一:防治350噸的污水排放,每年需要防治費(fèi)3.8萬元;
方案二:防治310噸的污水排放,每年需要防治費(fèi)2萬元;
方案三:不采取措施.
試比較上述三種文案,哪種方案好,并請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),由檢測結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖:
(I)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為,試比較的大。ㄖ灰髮懗龃鸢福;
(Ⅱ)佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶,恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55, 38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得:
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若、是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為( )
①若直線,則在平面內(nèi)一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內(nèi)不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內(nèi)一定存在與直線垂直的直線.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有云:“有木長三丈,圍之八尺,葛生其下,纏木兩周,上與木齊,問葛長幾何?”意思為:圓木長3丈,圓周為8尺,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問葛藤最少長幾尺(注:1丈即10尺)?該問題的答案為34尺.若圓木長為3尺,圓周為2尺,同樣繞圓木兩周剛好頂部與圓木平齊,那葛藤最少又是長( )尺?
A.34尺B.5尺C.6尺D.4尺
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了釋放學(xué)生壓力,某校高三年級一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪).在相同的條件下,每輪甲乙兩人站在同一位置,甲先投,每人投一次籃,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且各次投籃互不影響.
(1)經(jīng)過1輪投籃,記甲的得分為,求的分布列及期望;
(2)用表示經(jīng)過第輪投籃后,甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率,求.
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