Question

7．已知命題p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（a-1）^x是R上的減函數(shù)，q：函數(shù)g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．若命題p、q中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，根據(jù)p，q一真一假得到不等式組，解出即可．

解答 解：關(guān)于命題p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（a-1）^x是R上的減函數(shù)，
則0＜a-1＜1，解得：1＜a＜2；
關(guān)于命題q：函數(shù)g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴ax-1＞0，x-1＞0，a＞0，$\frac{1}{a}$≤2，∴a≥$\frac{1}{2}$，
g（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）=lg$\frac{ax-1}{x-1}$，
令h（x）=$\frac{ax-1}{x-1}$，則h′（x）=$\frac{-a+1}{{（x-1）}^{2}}$≥0，解得：a≤1，
綜上：$\frac{1}{2}$≤a≤1，
若命題p、q中有且只有一個(gè)是真命題，則p，q一真一假，
①p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤1}\\{\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}$≤a≤1，
②p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜2}\\{a＞1或a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴1＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．