已知數(shù)列{a
n}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)的和S
n=
⑴ 求{a
n}的通項(xiàng)公式;
⑵ 設(shè)等比數(shù)列{b
n}的首項(xiàng)為b,公比為2,前n項(xiàng)的和為T
n.若對(duì)任意n∈N
*,S
n≤T
n均成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
(1) a
n=2n-1(n∈N
*).(2) b≥
.
試題分析: (1) a
1=
,解得a
1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),由a
n=S
n-S
n-1=
, -2
得(a
n-a
n-1-2)(a
n+a
n-1)=0.
又因?yàn)閍
n>0,所以a
n-a
n-1=2.
因此{(lán)a
n}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,
即a
n=2n-1(n∈N
*). 6
(2) 因?yàn)镾
n=n
2,T
n=b(2
n-1),
所以S
n≤T
n對(duì)任意n∈N
*恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)
≤
對(duì)任意n∈N
*均成立.
令C
n=
,因?yàn)镃
n+1-C
n=
-
=
,
所以C
1>C
2,且當(dāng)n≥2時(shí),C
n<C
n+1.
因此
≤C
2=
,即b≥
.
點(diǎn)評(píng):中檔題,涉及數(shù)列的不等式證明問題,往往需要先求和、再證明。本題(2)通過研究數(shù)列的“單調(diào)性”,利用“放縮法”,達(dá)到證明目的。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
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已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1="(" 1/4)n(n∈N﹡),Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1 類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可求得5Sn-4nan= .
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設(shè)等比數(shù)列
的各項(xiàng)均為正數(shù),其前
項(xiàng)和為
.若
,
,
,則
___.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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已知等比數(shù)列
中
,則其前3項(xiàng)的和
的取值范圍是 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列
中,首項(xiàng)
,前3項(xiàng)和為14,則
值為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在等比數(shù)列{
}中,如果
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)等比數(shù)列
的公比為
q,前
n項(xiàng)和為
,若
,
,
成等差數(shù)列,則公比
q為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)等比數(shù)列{
}的前
項(xiàng)和為
若
,則
= ( )
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