Question

15．如圖，圓柱軸截面ABCD是正方形，E是底面圓周上不同于A、B的一點，AF⊥DE于F．
（1）求證：AF⊥BD
（2）若圓柱的體積是三棱錐D-ABE的體積的3π倍，求直線DE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）先證明BE⊥平面DAE，再證明AF⊥平面DBE，從而證明AF⊥BD；
（2）先找出直線DE與平面ABCD所成的角，再利用V_圓柱=3π•V_{三棱錐D-ABE}，求出邊角關(guān)系，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵DA⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴DA⊥BE；
又∵AB為底面圓的直徑，∴AE⊥BE；
且DA∩AE=A，∴BE⊥平面DAE；
又CF?平面DAE，∴AF⊥BE；
又∵AF⊥DE，DE∩BE=E，∴AF⊥平面DBE；
又BD?平面DBE，∴AF⊥BD；
（2）過E在底面上作EH⊥AB于H，連結(jié)DH，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ABCD，
于是∠EDH為直線DE與平面ABCD所成的角；
設(shè)圓柱的底面半徑為R，則其母線為2R，
V_圓柱=πR²•2R=2πR³，
V_{三棱錐D-ABE}=$\frac{1}{3}$S_△ABE•DA
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•2R•EH•2R=$\frac{2}{3}$R²•EH，
由V_圓柱=3π•V_{三棱錐D-ABE}，
即2πR³=3π•$\frac{2}{3}$R²•EH，
解得EH=R；
即H為底面圓心，∴DH=$\sqrt{{（2R）}^{2}{+R}^{2}}$=$\sqrt{5}$R；
又EH⊥DH，∴tan∠EDH=$\frac{EH}{DH}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間角的計算問題，是綜合性題目．