16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-C的正切值為(  )
A.$\sqrt{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.-$\sqrt{2}$D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

分析 先找二面角A1-BD-A的平面角,在△A1OA中,∠A1OA即為二面角A1-BD-A的平面角.根據(jù)二面角A1-BD-C與二面角A1-BD-A 互為補(bǔ)角進(jìn)行求解即可.

解答 解:連接AC交BD與點(diǎn)O如圖所示,
因?yàn)锳A1⊥BD,AC⊥BD,
所以∠A1OA即為二面角A1-BD-A的平面角,
∠A1OC即為二面角A1-BD-C的平面角,
且二面角A1-BD-C與二面角A1-BD-A 互為補(bǔ)角,
在△A1OA中,設(shè)AA1=a,則AO=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,
所以二面角A1-BD-A的正切值為tan∠A1OA=$\frac{{A}_{1}A}{AO}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$,
∵tan∠A1OC=tan(π-∠A1OA)=-tan∠A1OA=-$\sqrt{2}$,
故選:C

點(diǎn)評 本題主要考查二面角的大小求解,根據(jù)二面角的定義,找出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵.注意由于二面角A1-BD-C是鈍二面角根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求二面角A1-BD-A進(jìn)行求解.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅱ)若M是PC的中點(diǎn),D是線段AC靠近A的一個三等分點(diǎn),求二面角F-MN-D的余弦值.

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(2)求二面角C-BP-A的余弦值.

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1.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分別為AB、PC的中點(diǎn).
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(Ⅰ)證明:AG∥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值.

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5.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}a+{2^{-x}},\;\;\;x≤0\\ f(x-1),\;x>0\end{array}$,記g(x)=f(x)-x,若函數(shù)g(x)有且僅有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,+∞).

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