1.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分別為AB、PC的中點.
(1)若PA=1,求證:EF⊥平面PCD;
(2)若PA=2,試問在線段EF上是否存在點Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$?若存在,確定點Q的位置;若不存在,請說明理由.

分析 (1)取PD中點M,連接MF、MA,先證明EF∥AM,然后證明AM⊥平面PCD,利用直線平行的性質(zhì)即可證明EF⊥平面PCD,
(2)以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則平面PAD的法向量與平面PAQ的法向量的夾角的余弦值即為$\frac{\sqrt{5}}{5}$,建立方程進(jìn)行計算求解即可.

解答 證明:(1)取PD中點M,連接MF、MA,
在△PCD中,F(xiàn)為PC的中點,∴MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$,
正方形ABCD中E為AB中點,∴AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$,∴AE$\underset{∥}{=}$MF,
故四邊形EFMA為平行四邊形,∴EF∥AM,
若PA=1,則PA=AD=1,
即三角形PAD是等腰直角三角形,
∵M(jìn)是中點,∴AM⊥MD,
∵CD⊥平面PAD,∴CD⊥AM,
∵CD∩MD=D,
∴AM⊥平面PCD,
∵EF∥AM,
∴EF⊥平面PCD;
(2)結(jié)論:滿足條件的Q存在,是EF中點.
理由如下:
如圖:以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E(0,$\frac{1}{2}$,0),F(xiàn)($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,1),
由題易知平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
假設(shè)存在Q滿足條件:設(shè)$\overrightarrow{EQ}$=λ$\overrightarrow{EF}$,
∵$\overrightarrow{EF}$=($\frac{1}{2}$,0,1),∴Q($\frac{λ}{2}$,$\frac{1}{2}$,λ),$\overrightarrow{AQ}$=($\frac{λ}{2}$,$\frac{1}{2}$,λ),λ∈[0,1],
設(shè)平面PAQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}x+\frac{1}{2}y+λz=0}\\{z=0}\end{array}\right.$,可得$\overrightarrow{m}$=(1,-λ,0),
∴$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$,
由已知:$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,解得:$λ=\frac{1}{2}$,
所以滿足條件的Q存在,是EF中點.

點評 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解,建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.綜合考查學(xué)生的運算和推理能力.

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