Question

設(shè)圓（x-2）²+（y-2）²=4的切線l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（1）證明：（a-4）（b-4）=8；
（2）若a＞4，b＞4，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線l的截距式方程，整理為一般形式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，由直線l與圓相切，得到d=r，列出關(guān)系式，整理后即可得證；
（2）利用三角形面積公式表示出三角形AOB的面積，將（1）得出關(guān)系式變形后代入，利用基本不等式即可求出三角形AOB的最小值，以及此時(shí)a與b的值．

解答：（1）證明：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
則圓心（2，2）到切線l的距離d=r，即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，
整理得：ab-4（a+b）+8=0，
則（a-4）（b-4）=8；
（2）解：由（a-4）（b-4）=8，得到ab=4（a+b）-8，
又a＞4，b＞4，
∴S_△AOB=

1

2

ab=2[（a-4）+（b-4）+6]≥2（2

(a-4)(b-4)

+6）=4（3+2

2

），（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4+2

2

時(shí)取等號(hào)），
則△AOB面積的最小值是12+8

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及三角形的面積公式，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．