Question

設(shè)圓（x-2）²+（y-2）²=4的切線l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（Ⅰ）證明：（a-4）（b-4）為定值；
（II）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若a＞4，b＞4，求△AOB的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程，利用圓心（2，2）到切線l的距離d=r，化簡(jiǎn)即可證得結(jié)論；
（II）求得A、B、M坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入（a-4）（b-4）=8，即可求得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8，利用基本不等式可得ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥8（3+2

2

），從而可求△AOB的周長(zhǎng)t=a+b+

a2+b2

的最小值．

解答：（Ⅰ）證明：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，則圓心（2，2）到切線l的距離d=r，
即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-4）=8為定值；
（II）解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），則

a 2 =x b 2 =y

，
∴a=2x，b=2y，代入（a-4）（b-4）=8，
得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-2）（y-2）=2（xy≠0）；
（Ⅲ）解：由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8
 又a＞4，b＞4，∴ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥4[2

(a-4)(b-4)

+6]=8（3+2

2

）
所以△AOB的周長(zhǎng)t=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

≥4（3+2

2

）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4+2

2

時(shí)取等號(hào)）
所以△AOB的周長(zhǎng)的最小值是12+8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法求軌跡方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．