Question

設圓（x-2）²+（y-2）²=4的切線l與兩坐標軸交于點A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（Ⅰ）證明：（a-4）（b-4）為定值；
（II）求線段AB中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若a＞4，b＞4，求△AOB的周長的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：直線l的方程為，即bx+ay-ab=0，則圓心（2，2）到切線l的距離d=r，
即，即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-4）=8為定值；
（II）解：設AB的中點為M（x，y），則，
∴a=2x，b=2y，代入（a-4）（b-4）=8，
得線段AB中點M的軌跡方程為（x-2）（y-2）=2（xy≠0）；
（Ⅲ）解：由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8
又a＞4，b＞4，∴ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥4[2+6]=8（3+2）
所以△AOB的周長t=a+b+≥=（2+）≥4（3+2）（當且僅當a=b=4+2時取等號）
所以△AOB的周長的最小值是12+8．
分析：（Ⅰ）設直線l的方程，利用圓心（2，2）到切線l的距離d=r，化簡即可證得結論；
（II）求得A、B、M坐標之間的關系，代入（a-4）（b-4）=8，即可求得線段AB中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8，利用基本不等式可得ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥8（3+2），從而可求△AOB的周長t=a+b+的最小值．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查代入法求軌跡方程，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．