Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-x，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上的最大值；
（Ⅱ）設(shè)b≠0，求證：當(dāng)a=-1時，過點P（b，-b）有且只有一條直線與曲線y=f（x）相切；
（Ⅲ）若對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，2]，均有f（x）|x-1|≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）a=-1，f（x）=$\frac{-1}{x}$-x，f′（x）=$\frac{-（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值最值即可得出．
（II）當(dāng)a=-1時，f（x）=$\frac{-1}{x}$-x，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-1＞-1，設(shè)過點P（b，-b）與函數(shù)f（x）相切于點Q$（{x}_{0}，-\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}）$，利用切線斜率$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}-1$=$\frac{-\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}+b}{{x}_{0}-b}$，化為：b=2x₀．得出切線方程與曲線方程聯(lián)立得出交點的個數(shù)即可得出．
（III）當(dāng)x=1時，?a∈R，均有f（x）|x-1|≤1成立．當(dāng)x≠1時，不等式等價于a≤x²+$\frac{x}{|x-1|}$．對x分類討論：當(dāng)x∈$[\frac{1}{2}，1）$時，f（x）|x-1|≤1等價于：a≤x²+$\frac{x}{1-x}$，令g（x）=x²+$\frac{x}{1-x}$，x∈$[\frac{1}{2}，1）$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．當(dāng)1＜x≤2時，f（x）|x-1|≤1等價于：a≤x²+$\frac{x}{x-1}$，令h（x）=x²+$\frac{x}{x-1}$，則h（x）=x²+1+$\frac{1}{x-1}$＞2，即可得出．

解答 （I）解：a=-1，f（x）=$\frac{-1}{x}$-x，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=$\frac{-（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{2}≤x＜1$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x≤3時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上，當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=-2．
（II）證明：當(dāng)a=-1時，f（x）=$\frac{-1}{x}$-x，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-1＞-1，
設(shè)過點P（b，-b）與函數(shù)f（x）相切于點Q$（{x}_{0}，-\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}）$，
切線斜率$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}-1$=$\frac{-\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}+b}{{x}_{0}-b}$，化為：b=2x₀．
切線方程為：y+2x₀=$（\frac{1}{{x}_{0}^{2}}-1）$（x-2x₀），
與$y=-\frac{1}{x}-x$聯(lián)立可得：化為：x²-2x₀x+${x}_{0}^{2}$=0，解得x=x₀，
因此切線與曲線有且只有一個公共點Q．
當(dāng)x₀＞0時，切點Q位于第四象限，因此只有一條切線；
當(dāng)x₀＜0時，切點Q位于第二象限，因此只有一條切線．
（III）當(dāng)x=1時，?a∈R，均有f（x）|x-1|≤1成立．當(dāng)x≠1時，不等式等價于a≤x²+$\frac{x}{|x-1|}$．
當(dāng)x∈$[\frac{1}{2}，1）$時，f（x）|x-1|≤1等價于：a≤x²+$\frac{x}{1-x}$，令g（x）=x²+$\frac{x}{1-x}$，x∈$[\frac{1}{2}，1）$，
g′（x）=2x+$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0，函數(shù)g（x）在x∈$[\frac{1}{2}，1）$單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）取得最小值$g（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{4}$．
∴a≤$\frac{5}{4}$．
當(dāng)1＜x≤2時，f（x）|x-1|≤1等價于：a≤x²+$\frac{x}{x-1}$，令h（x）=x²+$\frac{x}{x-1}$，則h（x）=x²+1+$\frac{1}{x-1}$＞2，
∴a≤$\frac{5}{4}$，不等式a≤x²+$\frac{x}{x-1}$對于x∈（1，2]恒成立．
綜上可得：實數(shù)a的求值范圍是$（-∞，\frac{5}{4}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)方法、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．