【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于A,B，過與垂直的直線與橢圓交于，，與交于，求證：直線，，的斜率，，成等差數(shù)列．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意知，得圓與直線相切，利用圓心到直線的距離d=r求b,再求a,c,則方程可求；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為與橢圓聯(lián)立消y,得韋達定理，再設(shè) 直線的方程為，得P坐標，將坐標化代入韋達定理，整理即可證明

（1）由題意知，所以，即，

又因為以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓，

與直線相切，所以圓心到直線的距離d，所以，，

故橢圓的方程為．

（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，則直線的方程為．

由得．

設(shè)點，，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，

由題意知直線的斜率為，則直線的方程為

令，得點的坐標

即，所以成等差數(shù)列；

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的左右焦點分別為，為坐標原點，以下說法正確的是（ ）

A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為.

B.橢圓上存在點，使得.

C.橢圓的離心率為

D.為橢圓一點，為圓上一點，則點，的最大距離為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．

（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；

（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；

（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點到坐標原點的距離的最大值；

（Ⅱ）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當△AMN的面積為時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0,0≤θ＜2π）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論中不正確的個數(shù)是（ ）

①一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件；

②“”是“”的充分不必要條件；

③若事件與事件滿足條件：，則事件與事件是對立事件；

④把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是互斥事件.

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知離心率為2的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)分別為的左右頂點，為異于一點，直線與分別交軸于兩點，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過兩個定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知|x|≤2,|y|≤2,點P的坐標為(x,y).

(1)求當x,y∈R時,P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.

(2)求當x,y∈Z時,P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.

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