Question

已知函數f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊a，b，c滿足a²=bc，a邊所對的角為A，求A的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：常規(guī)題型,解三角形

分析：（Ⅰ）先逆用兩角差的正弦公式化成正弦型函數的標準形式，然后利用周期公式T=

2π

|ω|

求ω的值，進而寫出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用余弦定理結合基本不等式先求出cosA的范圍，再根據A為三角形的內角求出A的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

．
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

．
（Ⅱ）因為cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

．
而A為三角形內角，所以0＜A≤

π

3

．

點評：本題考查了三角變換及解三角形，第（Ⅰ）問解決的關鍵是化成正弦型函數的標準形式；第（Ⅱ）的關鍵是把求角的范圍轉化成先求角的余弦值的范圍．