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已知函數f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
(a+b+c)2
3
（a，b，c為實數）
①求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）；
②若a-b+2c=3，求（1）中m的最小值．
考點：柯西不等式在函數極值中的應用
專題：選作題,不等式
分析：①將函數化簡，利用配方法，即可求f（x）的最小值m；
②由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（-1）2+22]≥（a-b+2c）2，即可得出結論．
解答： 解：①f(x)=3x2-(2a+2b+2c)x+a2+b2+c2+
(a+b+c)2
3

=3(x-
a+b+c
3
)2+a2+b2+c2，
故當x=
a+b+c
3
時，m=f(x)min=a2+b2+c2…（3分）
②由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（-1）2+22]≥（a-b+2c）2
∵a-b+2c=3，
∴6m≥9，∴m得最小值為
3
2
，當且僅當a=
1
2
，b=-
1
2
，c=1時取等號．               …（7分）
點評：本題考查函數的最小值，考查柯西不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設曲線C的參數方程為
x=t
y=t2
（t為參數），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為（　�。�
A、sinθ=ρcos2θ
B、sinθ=ρcosθ
C、2sinθ=ρcos2θ
D、sinθ=2ρcos2θ

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F（1，0）橢圓C1的右焦點且F為雙曲線C2的右頂點，橢圓C1與雙曲線C2的一個交點是M（
2
3
3
，
3
3
）．
（Ⅰ）求橢圓C1及雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若點P是雙曲線右支上的動點，直線PF交y軸于點Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F2分別是雙曲線G：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線G與拋物線y2=-4x有一個公共的焦點，且過點（-
6
2
，1）
（Ⅰ）求雙曲線G的方程；
（Ⅱ）設直線l與雙曲線G相切于第一象限上的一點P，連接PF1，PF2，設l的斜率為k，直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F2Q⊥F2P，設F2Q交l于點Q，證明：當點P在雙曲線右支上移動時，點Q在一條定直線上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=
2
，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面EAC？若存在，試求出PF的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx（ω＞0）最小正周期為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊a，b，c滿足a2=bc，a邊所對的角為A，求A的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，橢圓上的點P與兩個焦點F1，F2構成的三角形的最大面積為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點Q為直線x+y-2=0上的任意一點，過點Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點分別為D、E），試證明動直線DE恒過一定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于正項數列{an}，定義Hn=
n
a1+2a2+3a3+…+nan
為{an}的“給力”值，現知數列{an}的“給力”值為Hn=
1
n
，則數列{an}的通項公式為an=
 
．

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