設橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）兩頂點A（-b，0），B（b，0），短軸長為4，焦距為2，過點P（4，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段C，D中點Q的軌跡方程；
（3）若直線AC的斜率為1，在橢圓上求一點M，使三角形△MAC面積最大．
考點：軌跡方程,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用短軸長為4，焦距為2，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）利用點差法，可求線段C，D中點Q的軌跡方程；
（3）設平行于AC的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用△=0，求出m，即可在橢圓上求一點M，使三角形△MAC面積最大．
解答： 解：（1）∵短軸長為4，焦距為2，
∴b=2，c=1，
∴a=
b2+c2
=
5
，
∴橢圓方程為
y2
5
+
x2
4
=1．…（3分）
（2）設C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x，y），則
y12
5
+
x12
4
=1①，
y22
5
+
x22
4
=1②
∵過點P（4，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點，線段C，D中點Q
∴①-②可得
y
x-4
•
y
x
=-
5
4
，即5x2-20x+4y2=0（0≤x≤1）．…（8分）
（3）設平行于AC的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程得9x2+8mx+4m2-20=0．
△=64m2-4•9•（4m2-20）=0，解得m=-3，m=3（舍）．
把m=-3代入上式解得x=
4
3
，從而解得M（
4
3
，-
5
3
）．…（11分）
把y=x+2代入橢圓方程整理得9x2+16x-4=0，
∴|AC|=
2
•
(-
16
9
)2+
16
9
=
20
2
9
，AC邊上高的最大值h=
5
2
，
∴△MAC面積最大值為
1
2
•
20
2
9
•
5
2
=
50
9
．…（14分）
點評：本題考查橢圓的方程，考查點差法的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為（　�。�
A、
3
6
B、
3
3
C、
3
2
D、
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sinx（x∈[0，π]），在區(qū)間[0，π]上任取一點x0，則f（x0）≥
1
2
的概率為（　�。�
A、
2
3
B、
1
2
C、
π
3
D、
π
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=10，則輸出的S=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F（1，0）橢圓C1的右焦點且F為雙曲線C2的右頂點，橢圓C1與雙曲線C2的一個交點是M（
2
3
3
，
3
3
）．
（Ⅰ）求橢圓C1及雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若點P是雙曲線右支上的動點，直線PF交y軸于點Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l過點N（4，0），傾斜角為α．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，及當α=
π
2
時，直線l的極坐標方程l′．
（2）已知從極點O作直線m與直線l′相交于點M，在OM上取一點P，使|OM|•|OP|=4，求點P的極坐標方程，并說明P的軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線G：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線G與拋物線y2=-4x有一個公共的焦點，且過點（-
6
2
，1）
（Ⅰ）求雙曲線G的方程；
（Ⅱ）設直線l與雙曲線G相切于第一象限上的一點P，連接PF1，PF2，設l的斜率為k，直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F2Q⊥F2P，設F2Q交l于點Q，證明：當點P在雙曲線右支上移動時，點Q在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx（ω＞0）最小正周期為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊a，b，c滿足a2=bc，a邊所對的角為A，求A的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點P為圓O的弦AB上的任意點，連結PO，使∠OPC=90°，PC交圓于C，若AP=4，PC=3，則PB=
 
．

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同步練習冊答案