Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（1，1），t∈R．，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ．
（Ⅰ）求cosθ；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值及相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求cosθ；
（Ⅱ）首先求出$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$的坐標(biāo)，然后用t表示其模，根據(jù)解析式是關(guān)于t的二次函數(shù)求最小值．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（1，1），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（-1，2）•（1，1）=-1+2=1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，…（2分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；…（6分）
（II）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（1，1）
∴$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$=（-1+t，2+t），…（8分）
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=$\sqrt{{{（t-1）}^2}+{{（t+2）}^2}}$=$\sqrt{2{{（t+\frac{1}{2}）}^2}+\frac{9}{2}}$，…（10分）
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值為$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及模的最值求法；屬于基礎(chǔ)題．