Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均是非零向量，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，是否存在這樣的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|成立？，若存在，求θ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在這樣的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|成立，可得$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，化簡整理即可得出．

解答 解：假設(shè)存在這樣的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|成立，
∴$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
化為${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴cosθ=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}{4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$≥$\frac{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}{4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ∈$[0，\frac{π}{3}]$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．