已知向量
a
=(2cos
x
2
,1+tan2x),
b
=(
2
sinx(
x
2
+
x
4
),cos2x),f(x)=
a
b

(1)求f(x)在(0,
π
2
]上的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(α)=
5
2
,α∈(
π
2
,π),求f(-α)的值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(2)由(1)可得f(α)=
5
2
=sinα+cosα+2,利用平方關(guān)系可得:sin2α=-
3
4
.由于α∈(
π
2
,π),可得sinα-cosα>0,因此sinα-cosα=
(sinα+cosα)2-sin2α
.即可得出f(-α)=-sinα+cosα+2.
解答: 解:(1)f(x)=
a
b

=2cos
x
2
2
sin(
x
2
+
π
4
)
+(1+tan2x)cos2x
=2cos
x
2
(sin
x
2
+cos
x
2
)
+1
=sinx+cosx+2
=
2
sin(x+
π
4
)
+2.
∴f(x)在(0,
π
2
]上的單調(diào)增區(qū)間為(0,
π
4
]

(2)f(α)=
5
2
=sinα+cosα+2,化為sinα+cosα=
1
2
,
∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=
1
4
,化為sin2α=-
3
4

.∵α∈(
π
2
,π),∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα=
(sinα+cosα)2-sin2α
=
1-(-
3
4
)
=
7
2

∴f(-α)=-sinα+cosα+2=2-
7
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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2
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