Question

5．設(shè)條件P：存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．現(xiàn)給出以下函數(shù)，其中滿足條件P的是（1），（2）
（1）f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$；
（2）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|成立．
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x•{2}^{x}（x≤0）}\\{\frac{sinx}{x}（x＞0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定．比較各個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)（1）（2），根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對(duì)于其它選項(xiàng)，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答 解：對(duì)于（1）若f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$，
則|f（x）|=|$\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$|=$\frac{|x|}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{4}{3}$|x|，
故對(duì)任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|，故滿足條件P；
對(duì)于（2），f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，
存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意；
對(duì)于（3），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x•{2}^{x}（x≤0）}\\{\frac{sinx}{x}（x＞0）}\end{array}\right.$，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
當(dāng)x≤0，要使|f（x）|≤M|x|成立，當(dāng)x=0時(shí)，0≤0，
即|2^x|≤M恒成立，由0＜2^x≤1，可得M≥1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，要使|f（x）|≤M|x|成立，
只要使$\frac{sinx}{{x}^{2}}$≤M恒成立，由x趨向于0時(shí)，$\frac{sinx}{{x}^{2}}$趨向于無窮大，則不存在M，不滿足條件P．
故答案為：（1），（2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，注意運(yùn)用單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)．