【題目】已知圓C的圓心坐標(biāo)且與線y=3x+4相切,
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線與圓C交于M,N兩點(diǎn),那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過(guò)原點(diǎn),若能,請(qǐng)求出直線MN的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(x-2)2+y2=10(2)y=-x+1+或y=-x+1-
【解析】
(1)由直線與圓相切得,圓心到直線的距離即為半徑,從而得解;
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),進(jìn)而通過(guò)直線與圓聯(lián)立得到2x2-(4+2m)x+m2-6=0,由韋達(dá)定理可得MN中點(diǎn)H的坐標(biāo)為(,),假設(shè)以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則有|OH|=|MN|,進(jìn)而由垂徑定理及坐標(biāo)表示距離列方程求解即可.
(1)根據(jù)題意,
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-2)2+y2=10;
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是直線y=-x+m與圓C的交點(diǎn),
聯(lián)立y=-x+m與(x-2)2+y2=10可得:2x2-(4+2m)x+m2-6=0,
則有x1+x2=m+2,x1x2=,
則MN中點(diǎn)H的坐標(biāo)為(,),
假設(shè)以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則有|OH|=|MN|,
圓心C到MN的距離d=,
則有|MN|=2=2,
又由|OH|=|MN|,
則有()2+()2=10-,
解可得m=1±,
經(jīng)檢驗(yàn),m=1±時(shí),直線與圓相交,符合題意;
故直線MN的方程為:y=-x+1+或y=-x+1-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:mx2+3my2=1(m>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程和離心率.
(2)設(shè)點(diǎn)A(3,0),動(dòng)點(diǎn)B在y軸上,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上,且點(diǎn)P在y軸的右側(cè).若BA=BP,求四邊形OPAB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx.
(Ⅰ)將函數(shù)f(2x)的圖象向右平移 個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,若x∈[ , ],求函數(shù)g(x)的值域;
(Ⅱ)已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,且滿足f(A)= +1,A∈(0, ),a=2 ,b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=nx(n>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為 ,曲線C在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)Q,直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且垂直于x軸.
(Ⅰ)求線段OQ的長(zhǎng);
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和Q的動(dòng)直線l2:x=my+b交曲線C于點(diǎn)A和B,交l1于點(diǎn)E,若直線PA,PE,PB的斜率依次成等差數(shù)列,試問:l2是否過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為DE,AF的中點(diǎn),將沿DE,EF,DF折成正四面體,則在此正四面體中,下列說(shuō)法正確的是______.
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為;
;
與PD所成的角為;
與EF所成角為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=﹣1,直線l與拋物線相交于不同的A,B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求 的值;
(3)如果 ,直線l是否過(guò)一定點(diǎn),若過(guò)一定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過(guò)一定點(diǎn),試說(shuō)明理由.
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【題目】已知函數(shù),若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且cos = .
(1)若a=3,b= ,求c的值;
(2)若f(A)=sin ( cos ﹣sin )+ ,求f(A)的取值范圍.
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