Question

已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓E：

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦點、橢圓的離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知直線y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=2相交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點F₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可知，e²=

2-b2

2

=（

2

2

）²，則b²=1，從而求橢圓E的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₂（1，0），由

y=kx+m x2 2 +y2=1

可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0；令△=0可得2k²=m²-1，且P（-

2k

m

，

1

m

），Q（2，2k+m）；從而可證

F2P

•

F2Q

=0．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，
e²=

2-b2

2

=（

2

2

）²，則b²=1；
則橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，F(xiàn)₂（1，0），
聯(lián)立動直線和橢圓方程可得，

y=kx+m x2 2 +y2=1

，
則（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0；
由△=0可得，
2k²=m²-1，且P（-

2k

m

，

1

m

），Q（2，2k+m）；
∴

F2P

•

F2Q

=（-

2k

m

-1，

1

m

）•（1，2k+m）
=-

2k

m

-1+

1

m

（2k+m）=0，
∴

F2P

⊥

F2Q

，
∴以線段PQ為直徑的圓恒過定點F₂．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)及向量的應用，屬于中檔題．