Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0）經(jīng)化簡后利用“五點法”畫其在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x	①	2 3 π		5 3 π
f（x）	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）請直接寫出①處應(yīng)填的值，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上的值域；
（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知f（A+

π

3

）=1，b+c=4，a=

7

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）①處應(yīng)填入

π

6

．利用倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性周期性即可得出；
（II）利用三角函數(shù)的單調(diào)性、特殊角的三角函數(shù)值可得A，再利用余弦定理、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）①處應(yīng)填入

π

6

．
f(x)=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．
∵T=2(

5π

3

-

2π

3

)=2π，
∴

2π

2ω

=2π，ω=

1

2

，
即f(x)=sin(x-

π

6

)．
∵x∈[-

π

2

，

π

3

]，∴-

2π

3

≤x-

π

6

≤

π

6

，∴-1≤sin(x-

π

6

)≤

1

2

，
從而得到f（x）的值域為[-1，

1

2

]．
（Ⅱ）∵f(A+

π

3

)=sin(A+

π

6

)=1，
又0＜A＜π，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
得A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)2-2bc-bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
即(

7

)2=42-3bc，∴bc=3．
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．

點評：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．