Question

8．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長為3，且cosB=$\frac{{\sqrt{10}}}{8}$，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求DC的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知及同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，sin∠ADC的值，利用∠BAD=∠ADC-∠B，根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．
（2）在△ABD中，由正弦定理即可計算求DC的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為$cosB=\frac{{\sqrt{10}}}{8}$，
所以sinB=$\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$，…（2分）
又cos∠ADC=$-\frac{1}{4}$，
所以sin∠ADC=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（4分）
所以sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）…（6分）
=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$×$\frac{{\sqrt{10}}}{8}-$（$-\frac{1}{4}$）×$\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（8分）
（2）在△ABD中，由正弦定理，得$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sinBAD}$，…（10分）
即$\frac{3}{{\frac{{3\sqrt{6}}}{8}}}=\frac{BD}{{\frac{{\sqrt{6}}}{4}}}$，
解得BD=DC=2．…（12分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．