Question

4．已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₂=2，S₅=15．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=2^a_n-a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題目條件等差數(shù)列{a_n}中，a₂=2，S₅=15，可求得其首項(xiàng)與公差，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求出b_n的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式即可求得T_n的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}={a_1}+d=2}\\{{S_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n，）
（Ⅱ）因?yàn)?{b_n}={2^{a_n}}-{a_n}$
所以${b_n}={2^n}-n$，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2¹-1）+（2²-2）+…+（2ⁿ-n）=（2¹+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n），
${T_n}=\frac{{2-{2^n}•2}}{1-2}-\frac{{n（{1+n}）}}{2}={2^{n+1}}-2-\frac{{n（{1+n}）}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，注重方程組法與公式法的考查，屬于中檔題．