Question

【題目】點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，∠B、∠C分別是邊AC、AB的對(duì)角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）． ①動(dòng)點(diǎn)P滿足 = + + ，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
②動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
③動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
④動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中．

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：對(duì)于①，∵動(dòng)點(diǎn)P滿足 = + + ， ∴ = + ，
則點(diǎn)P是△ABC的重心，故①正確；
對(duì)于②，∵動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
又 + 在∠BAC的平分線上，
∴ 與∠BAC的平分線所在向量共線，
∴△ABC的內(nèi)心在滿足條件的P點(diǎn)集合中，②正確；
對(duì)于③，動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ），（λ＞0），
過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則| |sinB=| |sinC=AD，
= （ + ），向量 + 與BC邊的中線共線，
因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，③正確；
對(duì)于④，動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ） =λ（| |﹣| |）=0，
∴ ⊥ ，
∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，④正確；
對(duì)于⑤，動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
設(shè) = ，
則 =λ（ + ），
由④知（ + ） =0，
∴ =0，
∴ ⊥ ，
∴P點(diǎn)的軌跡為過E的BC的垂線，即BC的中垂線；
∴△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合，⑤正確．
故正確的命題是①②③④⑤．
所以答案是：①②③④⑤．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．