Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），若不等式$\frac{4}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$+t•a_n≥0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-9，+∞）．

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．不等式$\frac{4}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$+t•a_n≥0化為：t≥-$（n+\frac{4}{n}+5）$．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{n{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為2．
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
不等式$\frac{4}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$+t•a_n≥0化為：t≥-$（n+\frac{4}{n}+5）$．
∵$n+\frac{4}{n}$+5≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)．
∵-$（n+\frac{4}{n}+5）$≤-9．
∵實(shí)數(shù)t的取值范圍若不等式$\frac{4}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$+t•a_n≥0恒成立，
∴t≥-9．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍[-9，+∞）．
故答案為：[-9，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．