Question

9．已知直線l：y=kx+1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜2）．
（1）若l與C恒有公共點(diǎn)，求橢圓C離心率的取值范圍；
（2）若b=$\sqrt{2}$，令直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A、B，求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求得直線l恒過定點(diǎn)（0，1），再由題意可得（0，1）在橢圓的內(nèi)部或橢圓上，即有$\frac{0}{4}$+$\frac{1}{^{2}}$≤1，解得b的范圍，再由離心率公式可得范圍；
（2）求出橢圓方程，將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡整理，即可得到所求中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）l與C恒有公共點(diǎn)，可得直線l：y=kx+1
恒過定點(diǎn)（0，1）在橢圓的內(nèi)部或橢圓上，
即有$\frac{0}{4}$+$\frac{1}{^{2}}$≤1，解得b≥1，
又0＜b＜2，可得1≤b＜2，
由a=2，c²=a²-b²=4-b²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{4}}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
即有橢圓C離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
（2）由題意可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
將直線y=kx+1代入橢圓方程，可得
（1+2k²）x²+4kx-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，n），
可得x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，①
n=km+1=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，②
兩式相除可得k=-$\frac{m}{2n}$，代入②可得
1+2•$\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}$，化簡可得m²+2n²-2n=0，
則線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為x²+2y²-2y=0（x≠0）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓離心率的范圍的求法，注意運(yùn)用直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上的條件，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．