【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y=0上.
(1)若圓C與y軸的正半軸相切,且該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為2 ,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:y=﹣2x+b與圓C交于兩點(diǎn)A,B,若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)已知點(diǎn)N(0,3),圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點(diǎn)M,使MN=2MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】
(1)解:因?yàn)閳AC的圓心在直線x﹣2y=0上,所以可設(shè)圓心為(2a,a).
因?yàn)閳AC與y軸的正半軸相切,所以a>0,半徑r=2a.
又因?yàn)樵搱A截x軸所得弦的長(zhǎng)為2 ,
所以a2+( )2=(2a)2,解得a=1.
因此,圓心為(2,1),半徑r=2.
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣2)2+(y﹣1)2=4
(2)解:由 消去y,得(x﹣2)2+(﹣2x+b﹣1)2=4.
整理得5x2﹣4bx+(b﹣1)2=0.(★)
由△=(﹣4b)2﹣4×5(b﹣1)2>0,得b2﹣10b+5<0(※)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,x1x2=
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,可知OA,OB的斜率都存在,
且kOAkOB= =﹣1
整理得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(﹣2x1+b)(﹣2x2+b)=0.
化簡(jiǎn)得5x1x2﹣2b(x1+x2)+b2=0,即(b﹣1)2﹣2b +b2=0.
整理得2b2﹣10b+5=0.解得b= .
當(dāng)b= 時(shí),2b2﹣10b+5=0,b2﹣10b+5=﹣b2.③
由③,得b≠0 從而b2﹣10b+5=﹣b2<0
可見(jiàn),b= 時(shí)滿足不等式(※).b= 均符合要求
(3)解:圓C的半徑為3,設(shè)圓C的圓心為(2a,a),由題意,a>0.
則圓C的方程為(x﹣2a)2+(y﹣a)2=9.
又因?yàn)镸N=2MD,N(0,3),設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
則 = ,整理得x2+(y+1)2=4.
它表示以(0,﹣1)為圓心,2為半徑的圓,記為圓D.
由題意可知,點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有公共點(diǎn).
所以|3﹣2|≤ ,且a>0.
即1 ,且a>0.
所以 即
解得0<a≤2.
所以圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍是(0,2]
【解析】(1)設(shè)圓心為(2a,a),通過(guò)圓C與y軸的正半軸相切,得到半徑r=2a.利用該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為2 ,列出方程求解即可.(2)由 ,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韋達(dá)定理以及判別式,結(jié)合直線的斜率關(guān)系,即可求出b的值.(3)設(shè)圓C的圓心為(2a,a),圓C的方程為(x﹣2a)2+(y﹣a)2=9,設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),利用|3﹣2|≤ ,且a>0,求出圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍是(0,2].
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【題目】已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=﹣(x﹣1)2+1,則滿足f[f(a)+ ]= 的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC⊥PB,△BCD為等邊三角形,PA=BD= ,AB=AD,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:BC⊥AB;
(2)求AB的長(zhǎng);
(3)求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.
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【題目】設(shè)集合A={x|a﹣3<x<a+3},B={x|x2﹣2x﹣3>0}.
(1)若a=3,求A∩B,A∪B;
(2)若A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)判斷并證明f(x)在(﹣∞,+∞)上的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈R,不等式f(kt2﹣kt)+f(2﹣kt)<0恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)y= +lg(2﹣x)的定義域是集合M,集合N={x|x(x﹣3)<0}
(1)求M∪N;
(2)求(RM)∩N.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B﹣EFC的體積;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
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【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x﹣1=0,直線l:3x﹣4y+12=0,圓C上任意一點(diǎn)P到直線l的距離小于2的概率為 .
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【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), 恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí),研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅲ)求證: (參考數(shù)據(jù): ).
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