【題目】已知f(x)為偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,則滿足f[f(a)+ ]= 的實數(shù)a的個數(shù)為( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】C
【解析】解:設(shè)t=f(a)+ ,
則條件等價為f(t)= ,
若x≤0,則﹣x≥0,
∵當x≥0時,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,
∴當﹣x≥0時,f(﹣x)=﹣(﹣x﹣1)2+1=﹣(x+1)2+1,
∵f(x)為偶函數(shù),
∴f(﹣x)=﹣(x+1)2+1=f(x),
即f(x)=﹣(x+1)2+1,x≤0,
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:
當x≥0時,由﹣(x﹣1)2+1= ,得(x﹣1)2= ,則x=1+ 或x=1﹣ ,
∵f(x)為偶函數(shù),
∴當x<0時,f(x)= 的解為x3=﹣1﹣ ,x4=﹣1+ ;
綜上所述,f(t)= 得解為t1=1+ 或t2=1﹣ ,t3=﹣1﹣ ,t4=﹣1+ ;
由t=f(a)+ 得,
若t1=1+ ,則f(a)+ =1+ ,即f(a)= + >1,此時a無解,
若t2=1﹣ ,則f(a)+ =1﹣ ,即f(a)=﹣ ﹣ ∈(﹣∞,0),此時a有2個解,
若t3=﹣1﹣ ,則f(a)+ =﹣1﹣ ,即f(a)=﹣ ﹣ ∈(﹣∞,0),此時a有2個解,
若t4=﹣1+ ,則f(a)+ =﹣1+ ,即f(a)=﹣ + ∈(﹣∞,0),此時a有2個解,
故共有2+2+2=6個解.
故選:C.
利用換元法將函方程轉(zhuǎn)化為f(t)= ,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,函數(shù)y= + 的定義域為A,函數(shù)y= 的定義域為B.
(1)求集合A、B.
(2)(UA)∪(UB).
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【題目】已知R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,則f(2)的值為(
A.
B.2
C.
D.a2
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【題目】用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)求當時, 恒成立的的取值范圍,并證明
.
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【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)y= 是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
②若lna<1成立,則a的取值范圍是(﹣∞,e);
③函數(shù)f(x)=ax+1﹣2(a>0,a≠1)的圖象過定點(﹣1,﹣1);
④方程x2+(a﹣3)x+a=0的有一個正實根,一個負實根,則a<0;
⑤函數(shù)f(x)=loga(6﹣ax)(a>0,a≠1)在[0,2]上為減函數(shù),則1<a<3.
其中正確的個數(shù)( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2 x﹣1(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x0)= , ,求cos2x0的值.
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【題目】在單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,O是B1D1的中點,如圖建立空間直角坐標系.
(1)求證:B1C∥平面ODC1;
(2)求異面直線B1C與OD夾角的余弦值;
(3)求直線B1C到平面ODC1的距離.
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【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y=0上.
(1)若圓C與y軸的正半軸相切,且該圓截x軸所得弦的長為2 ,求圓C的標準方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:y=﹣2x+b與圓C交于兩點A,B,若以AB為直徑的圓過坐標原點O,求實數(shù)b的值;
(3)已知點N(0,3),圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點M,使MN=2MO(O為坐標原點),求圓心C的縱坐標的取值范圍.
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