Question

3．觀察下列三角形數(shù)表，假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為a_n（n≥2，n∈N），
（1）依次寫(xiě)出第六行的所有6個(gè)數(shù)字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式，并利用遞推關(guān)系式求出a_n的通項(xiàng)公式（可以不證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形數(shù)表知：兩側(cè)數(shù)為從1開(kāi)始的自然數(shù)列，中間的數(shù)從第三行起，每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和，得到第六行的所有6個(gè)數(shù)字；
（2）根據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，則第二個(gè)數(shù)等于上一行第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的和，即a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求出a_n的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，
得到第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別為：6，16，25，25，16，6．
（2）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$，
則a_n=$\frac{1}{2}（{n}^{2}-n+2）$，
當(dāng)n=2時(shí)a₂=$\frac{1}{2}$×2²-$\frac{1}{2}$×2+1=2，也滿(mǎn)足上述等式，
所以a_n=$\frac{1}{2}（{n}^{2}-n+2）$（n≥2，n∈N）．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)三角數(shù)表構(gòu)造數(shù)列，考查了數(shù)列遞推公式，累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，入題較難，考查觀察、歸納能力，屬中檔題．