【題目】 將1至這個(gè)自然數(shù)隨機(jī)填入n×n方格的個(gè)方格中,每個(gè)方格恰填一個(gè)數(shù)().對(duì)于同行或同列的每一對(duì)數(shù),都計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的比值,在這個(gè)比值中的最小值,稱為這一填數(shù)法的“特征值”.
(1)若,請(qǐng)寫出一種填數(shù)法,并計(jì)算此填數(shù)法的“特征值”;
(2)當(dāng)時(shí),請(qǐng)寫出一種填數(shù)法,使得此填數(shù)法的“特征值”為;
(3)求證:對(duì)任意一個(gè)填數(shù)法,其“特征值”不大于.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)可設(shè)1在第一行第一列,同行或是同列的兩個(gè)數(shù)的可能,可得特征值;
(2)寫出n=3時(shí)的圖標(biāo),由特征值的定義可得結(jié)果;
(3)設(shè)a,b利用分類討論,分情況證明出結(jié)果.
解:(1)當(dāng)時(shí),如下表填數(shù):
同行或同列的每一對(duì)數(shù),計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的比值分別為
2,,3,2,可得此填數(shù)法的“特征值”為;
(2)當(dāng)時(shí),如下表填數(shù):
同行或同列的每一對(duì)數(shù),計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的比值分別為
4,3,,5,9,,,,,,,,8,3,,,,,
可得此填數(shù)法的“特征值”為;
(3)不妨設(shè)A為任意一個(gè)填數(shù)法,記此填數(shù)法的“特征值”為C(A),
考慮含n+1個(gè)元素的集合B={n2,n2﹣1,n2﹣2,…,n2﹣n},
易知其中必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一行,設(shè)為
也必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一列,設(shè)為.
①若
則有(因?yàn)?/span>).
②若,即,
則,.
所以.
即不論何種情況,總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,邊a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且滿足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面積為4,b=4,求△ABC的周長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形, 平面, 分別為的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面P;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線,的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn),在曲線上,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市電視臺(tái)為了宣傳舉辦問(wèn)答活動(dòng),隨機(jī)對(duì)該市15~65歲的人群抽樣了人,回答問(wèn)題計(jì)結(jié)果如下圖表所示:
(1)分別求出的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年時(shí)紅軍長(zhǎng)征勝利80周年,某市電視臺(tái)舉辦紀(jì)念紅軍長(zhǎng)征勝利80周年知識(shí)問(wèn)答,宣傳長(zhǎng)征精神.首先在甲、乙、丙、丁四個(gè)不同的公園進(jìn)行支持簽名活動(dòng),其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星,每人獲得一個(gè)紀(jì)念品,其數(shù)據(jù)表格如下:
(Ⅰ)求此活動(dòng)中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù);
(Ⅱ)從乙和丙公園的幸運(yùn)之星中任選兩人接受電視臺(tái)記者的采訪,求這兩人均來(lái)自乙公園的概率;
(Ⅲ)電視臺(tái)記者對(duì)乙公園的簽名人進(jìn)行了是否有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史的問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下(單位:人):
據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史與性別有關(guān).
附臨界值表及公式: ,其中
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓的離心率為,過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中t∈R.
(1)當(dāng)t=1時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)t≠0時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,首項(xiàng),且,正項(xiàng)數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)記,是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù),恒成立?若存在,求正整數(shù)的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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