Question

16．設(shè)M，N分別為雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦點(diǎn)，若P在雙曲線上，且$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，則|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PN}$|=$2\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1求出左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，說(shuō)明∠MPN=90°，△MNP是直角三角形，利用雙曲線的定義即可求解．

解答 解：由題意：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得：a=1．b=3，c=$\sqrt{10}$
M，N分別為雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦點(diǎn)，
∴M（-$\sqrt{10}$，0），N（$\sqrt{10}$，0），|MN|=2$\sqrt{10}$．
又∵P在雙曲線上，且$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，
∴∠MPN=90°，△MNP是直角三角形．
設(shè)|NP|=m，|MP|=n，
m²+n²=（2c）²=40，
根據(jù)雙曲線的定義可得|m-n|=2a=2．
則有（m-n）²=4，
解得：mn=18，
所以：|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PN}$|=m+n=$\sqrt{（m-n）^{2}+4mn}$=2$\sqrt{19}$．
故答案為$2\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)的運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．