Question

4．已知正四面體ABCD的棱長為2，E為棱AB的中點，過E作其外接球的截面，則截面面積的最小值為$\frac{1}{2}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，過E點的截面到球心的最大距離，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
∵正四面體ABCD的棱長為2，
∴正方體的棱長為$\sqrt{2}$，
可得外接球半徑R滿足2R=$\sqrt{6}$，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心O的距離最大時，
截面圓的面積達最小值，
此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，
可得截面圓的半徑為r=$\sqrt{\frac{6}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到截面圓的面積最小值為S=πr²=$\frac{1}{2}$π．
故答案為：$\frac{1}{2}$π．

點評 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識，屬于中檔題．