Question

3．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，求單調(diào)遞減區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關(guān)系即可求單調(diào)遞減區(qū)間和值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=4cosxsin（x+\frac{π}{6}）-1=4cosx（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）-1$
=$4cosx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$…（4分）
所以f（x）的最小正周期為π．…（6分）
（Ⅱ）①令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，則$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，當(dāng)k=0時(shí)有$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，
又∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$；…（9分）
②由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，于是
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$，f（x）取的最大值為2；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$，即$x=-\frac{π}{6}$，f（x）取的最小值為-1．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．