Question

11．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，四棱錐O-ABCD的體積為8$\sqrt{3}$，則球O的表面積為64π．

Answer 1

分析 由題意求出矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，即截面圓的直徑，根據(jù)棱錐的體積計(jì)算出球心距，進(jìn)而求出球的半徑，代入球的表面積公式，可得答案．

解答 解：由題可知矩形ABCD所在截面圓的半徑即為ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，
∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
由矩形ABCD的面積S=AB•BC=12$\sqrt{3}$，
則O到平面ABCD的距離為h滿足：$\frac{1}{3}×12\sqrt{3}h$=8$\sqrt{3}$，
解得h=2，
故球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=4，
故球的表面積為：4πR²=64π，
故答案為：64π．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查球內(nèi)幾何體的體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，空間想象能力，�？碱}型．