Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，（x＞2）}\\{x+{a}^{2}，（x≤2）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合，得：2+a²＞2²+a，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，（x＞2）}\\{x+{a}^{2}，（x≤2）}\end{array}\right.$，
存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
∴可作出如右圖所示的函數(shù)f（x）的圖象，
結(jié)合圖象得：2+a²＞2²+a，
∴a²-a-2＞0，
解得a＜-1或a＞2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．