Question

16．設(shè)a，b∈R⁺，且a+b=2則ab²的最大值為$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)得a=2-b，0＜b＜2；從而可得f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），從而求得．

解答 解：∵a，b∈R₊且a+b=2，
∴a=2-b，0＜b＜2；
f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，
f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故f（b）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）上是增函數(shù)，
在（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）上是減函數(shù)；
故ab²的最大值是f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$
故答案為：$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．